高二数学 7.2 直线的方程同步辅导教材

一、本讲进度 7.2 直线的方程

课本第38页至第44页

二、本讲主要内容 直线普通方程的五种形式 三、学习指导

1、从几何条件看，给出直线上一点及直线的方向可以确定直线；给出直线上的两点也可以确定直线。由此得到了求直线方程两种常用途径，得到了直线方程的基本形式：点斜式及两点式。两点式归根到底又由点斜式确定。

同学们应熟练掌握直线普通方程五种基本形式的特征。使用范围及注意事项：

（1）在选用点斜式y-y0=k(x-x0)（将k作为待定参数）时，应讨论直线斜率k不存在的情形，此时直线方程为x=x0。

斜截式y=kx+b作为点斜式的特例，也有类似问题。

点斜式是直线方程的最基本形式，斜截式是使用频率最高的一种形式。

（2）两点式是最不常用的一种形式。教材是把两点式转化为点斜式写出直线方程的，体现了转化的思想，同学们在解题时也应这样去转化。

也可以依照点斜式的推导思想去求两点式直线方程：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线

上任取一点P(x，y)（异于P1、P2点），由P1、P2、P三点共线，借助于向量一章中介绍的分比公式

xx1yy1 …………①

x1x2y1y2得到：

或借助于斜率概念，有kPP1kP1P2（或kPP2kPP1等），则：

方程①及②均是两点式直线方程的表示形式。不管是哪一种分式形式，它都没有能表示出平面上直线x=x1(x=x2)及直线y=y1，即直线斜率不存在或斜率为0时，不能通过两点式的分式形式表示出来。若将分式形式改写成整式形式，如，由①变形为(x-x1)(y1-y2)=(y-y1)(x1-x2)，则它可以表示平面上过任意两个已知点的直线方程。

截距式是两点式特例。当某条直线在坐标轴上截距相等时，应对截距是否为零进行讨论。若截距不为零，直线方程形式为x+y=a（a≠0）；若截距为零，则直线方程形式为y=kx（k≠0），此时直线必过原点。

（3）直线方程一般式Ax+By+c=0（A+B≠0），则指明了直线方程的特征，揭示了平面上直线（形）与二元一次方程（数）之间的一一对应关系。正因为存在这样一种对应关系，所以可把“直线的方程为Ax+By+C=0”简说成“直线Ax+By+C=0”。

应熟练对直线方程的各种形式进行互相转化。一般说来，解题的最后结果都应写成一般式。 2、求直线方程，一般用待定系数法。首先根据题目条件，选择适当的直线方程形式；其次，通过解方程确定有关参数。

3、在求直线方程过程中，重视分析图形的平几性质简化计算。实际上，这也是研究解析几何问题的重要思想方法。

四、典型例题

例1、等腰△ABC的顶点A（-1，2），AC边所在直线斜率为3，点B坐标为（-3，2），求AC、BC

2

2

y1yy2y1 …………② x1xx2x1及∠A平分线所在直线方程。

解题思路分析：

首先正确画出示意图，可以发现点C有两种可能，应分情况求解。 AC边所在直线方程：y-2=3 (x+1)，即3x-y+2+3=0。 当点C为点C1时 ∵ AB∥x轴

2，∠BAC1= 33又 |AB|=|AC1| ∴ ∠BAC2=∴ ∠ABC1=∠AC1B=

 63(x+3) 3∴ 直线BC方程：y-2=即3x-3y+6+33=0

∵ ∠A平分线与线段AB夹角为

 32 3∴ ∠A平分线与x轴正方向形成的角为∴ ∠A平分线方程：y-2=-3(x+1) 即3x+y-2+3=0

当点C为点C2时，△ABC2为正三角形，BC2倾斜角为

2，∠A平分线倾斜角为，可求得BC边所在36直线方程为3x+y-2+33=0，∠A平分线方程为3x-3y+6+3=0。

1|C1C2|，故△C1BC2是以B为顶点的直角三角形。由AB2∥x轴得∠BAC2=。∴△ABC2为正三角形，∠ABC1=，即为直线BC1倾斜角。下求有关直线方程亦相当

36简单。

注：若进一步分析图形的平几性质，因|BA|=

在后面讲完两条直线互相垂直的充要条件后，由BC1⊥BC2，求出kBC1后，立即可以求kBC2；两种情况下的角A平分线亦互相垂直，求出第一种情形下∠A平分线斜率，马上可以得到第二种情形下角A平分线斜率。

例2、过点P（2，1）作直线求出△AOB面积最小时直线

解题思路分析：

从条件分析，因涉及到过定点P，故可选用点斜式，将斜率k作为参数；又涉及到与坐标轴交点，也可采用截距式，将横、纵截距作为参数。

从结论分析，这是一个最值问题。应将△AOB面积作为目标函数，将刚才设定的参数作为未知数建立函数关系，然后求该函数的最小值。

思路一：直线的斜率显然存在，设直线：y-1=k(x-2)，由直线的几何位置可知k<0（这是一个隐藏条件，却是解决本题关键。由此说明，形与数的对应、转化是多么重要！）

△AOB面积S=

分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点，的方程。

11111|OA||OB|=(2)(12k)[(4k)4] 22k2k11 ≥[2(4k)+4]=4

2k11，k=（舍正）时，Smin=4，此时直线方程为x+2y-4=0 k2xy思路二：设直线方程为1，a>0，b>0（实际上，a>2，b>1）

ab∵ P∈ 当且仅当-4k=111 …………① ab1则△AOB面积S=ab

2问题转化为在条件①下求二元函数S的最小值，这在不等式中已多次讲过，这里只介绍一种消元方∴ 法。

由①得b=

a a21a1a2S=a

2a22a21(t2)21414(t4)≥[2t4]4 令t=a-2，则t>0，S=2t2t2t4，t2（舍负）时等号成立，此时a=4，b=2，A（4，0），B（0，2） t注1：在思路二之下，同学们可以发现一个有趣的结论：点P在AB中点。在与本题相仿的条件下，当且仅当t记住这个结论也许会提高你解客观题的速度。

思路三：对于本题中的直线

，在过点P的条件下，实际是无数条直线，称这些直线为放置直线系

引起的是两Rt△

（束），k为变量。k与倾斜角θ是对应的，故本题也可考虑将旋转角作为参数。

分析图形特征，当绕点P绕转时，点P与坐标轴围成矩形面积OMPN为常数，BNP、Rt△PMA的面积变化，由此可联想到用分割法求面积，如图。

设∠BAO=θ，θ∈（0，

） 2则SOABSBPNS矩PMONSAPM

1(4tanθ+cotθ) 21 ≥224tancot=4

211当且仅当4tanθ=cotθ，tanθ=，θ=arctan时，Smin=4，此时直线方程：x+2y-4=0。

22例3、对于直线上任意点（x，y），点（4x+2y，x+3y）仍在直线上，求直线方程。 2解题思路分析：

法一：用待定系数法这个常规方法比较困难，考虑从特殊情形着手。为了保证两点（x，y），（4x+2y，x+3y）同时在直线上，

x4x2y令 

yx3yx0解之得 

y0可知直线过原点，其方程特征为Ax+By=0（即常数项为0），下面再确定参数A、B。 ∵ 点（4x+2y，x+3y）在直线上 ∴ A（4x+2y）+B(x+3y)=0

∴ (4x+B)x+(2A+3B)y=0

设方程表示的直线其实就是直线Ax+By=0

4AB2A3B AB22

∴ 2A-AB-B=0 ∴

∴ A=B，或B=-2A

∴ 直线方程为x+y=0或x-2y=0

法二：若用待定系数法，只能选用两个参数 设：y=kx+b 则 x+3y=k(4x+2y)+b

∴ x+3(kx+b)=4kx+2k(kx+b)+b ∴ (2k+k-1)x+2(k-1)b=0 ∵ x∈R

2k2k10∴ 

2(k1)b02

1k1k∴ 或 2b0b0∴ 直线：x-2y=0，或x+y=0

例4、已知△ABC中，A(1，3），AB、AC边上的中线所在直线方程分别为x-2y+1=0，y-1=0求△ABC各边所在直线方程。

解题思路分析：

尽可能画出准确的示意图。 设AB、AC中点分别为E、F

显然求各边所在直线斜率有一定困难，因中线与中点有关，中点又与三角形顶点相关，均考虑求△ABC的顶点坐标。由已知两点的几何条件求直线方程。

∵ C∈CE，CE方程为x-2y+1=0 ∴ 可设点C(2y0-1，y0)，则点F(y0，∵ F∈BC，BF方程y-1=0

y03) 2y0310 2∴ y0=-1

∴

∴ C(-3，-1) 同理可求得B（5，1） ∴ △ABC三边所在直线方程为 AB：x+2y-7=0 BC：x-4y-1=0 AC：x-y+2=0 五、同步练习 （一）选择题 1、直线：

xy1的倾斜角是 344444A、arctan B、arctan() C、arctan() D、arctan()

33332、a、b∈N，则过不同三点（a，0），（0，b），（1，3）的直线条数为 A、1 B、2 C、3 D、多于3 3、点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则(xy)max为

3144 D、 4494、已知点A（3，3）、B（-1，5）、直线：y=kx+1与线段AB有公共点，则k取值范围是 A、3 B、3 C、

11112)∪(-,+∞) B、[-4，-)∪(-,] 2222322C、[-4，] D、（-∞，-4]∪[，+∞）

335、直线：Ax+By+C=0过第一、二、三象限，则 A、(∞，-AB0AB0AB0AB0A、 B、 C、 D、

BC0BC0BC0BC06、直线：(m+2)x-(m-2)y-2m=0，直线x轴上截距为3，则m等于

66 D、 550

7、直线2x-y-4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转45所得直线方程是 A、6 B、-6 C、

A、x-3y-2=0 B、3x-y+6=0 C、x-y-2=0 D、3x+y-6=0

8、等腰△AOB中，AO=AB，点O（0，0），A（1，3），点B在x轴正半轴上，则直线AB方程为 A、y-1=3(x-3) B、y-1=-3(x-3) C、y-3=3(x-1) D、y-3=-3(x-1) （二）填空题

4的直线方程是______________________。 510、过点（1，2）且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程是________________。 9、过点（2，1），且倾斜角α满足sinα=

11、已知直线y=kx+b，当x∈[-3，4]时，y∈[-8，13]，则此直线方程是____________。

12、直线与x轴、y轴的正向交于A、B，S△AOB=2，且|AO|-|BO|=3，则直线方程________________。 13、直线3x-4y+k=0在两坐标轴上截距之积为2，则实数k=__________。 14、若直线(a-1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上截距相等，则实数a=____________。 15、已知直线______________。 （三）解答题

16、已知直线过点P（-1，3）且与x轴、y轴分别交于A、B，若线段中点为P，求方程。 17、直线过P（-2，1），斜率为k（k>1），将直线

绕点P逆时针方向旋转45得直线m，若直线

0

过点（1，-1）且倾斜角等于直线y=2x+1的倾斜角的两倍，则直线方程

和m分别与y轴交于Q、R两点，则当k为何值时，△PQR面积最小？求出面积的最小值。

18、已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点P（2，3），求经过两点Q1（a1，b1），Q2(a2，b2)的直线方程。

19、A是直线：y=3x上一点，且A在第一象限内，直线AB交x轴正半轴于C，求使△AOC面积最小时A点坐标。

20、已知3A+4B+5C=0，求直线：Ax+By+C=0必过某定点P，并求点P坐标。 六、参考答案 （一）选择题

1、C。 k444，tan，∵α∈[0，π），∴α=π+arctan(-) 3332、B。 ∵

b33，∴b3，∵a、b∈N，∴1-a=±3，±1,当a=2时b=6；当a=4时b=4。 a1a1axyxyxy1，且x≥0，y≥0。∵≥2123434xy33、A。 P∈AB，

，∴xy≤3，xy≤3。

4、D。 如图，直线表示过P（0，1）的旋转线系，kPA当

从PA逆时针旋转到y轴时，k≥

2，kPB4，32；当从y轴逆时针旋转到PB时，k3≤-4，∴k≤-4，或k≥

2。 3ACx，当过第一、二、三象限时，BBACAC

k>0且b>0，∴0且0，∴<0且0，∴AB<0且BC<0。

BBBB6、B。

5、D。 化一般式为斜截式y=-7、D。 所求直线斜率ktan450tan1tan450tan（θ为直线2x-y-4=0的倾斜角，k123。又直线过12（2，0），∴直线方程为3x+y-6=0。

8、D。 kAB=-kAO=-3，∴直线AB方程y-3=-3(x-1)。 （二）填空题

9、4x-3y-5=0，或4x+3y-11=0。当α为锐角时，tanα=当α为钝角时，tanα=-

444，k=，直线y-1=(x-2),即4x-3y-5=0；333444，k=，直线为y-1=-(x-2)，即4x+3y-11=0。 33310、2x-y=0，或x+y-3=0。当截距为零时，设直线方程为y=kx，令x=1，y=2，得k=2，直线方程为f(3)8k311、y=3x+1，或y=-3x+4。记f(x)=kx+b，当k>0时，f(x)在[-3，4]上递增，，；

f(4)13b12x-y=0；当截距不为零时，设直线方程为x+y=a，令x=1，y=2，则a=3，直线方程为x+y-3=0。

f(3)13k3当k<0时，f(x)在[-3，4]上递减，，∴。

f(4)8b41xyab2b112、x+4y-4=0。设直线：1（a>0，b>0），则2，。

a4abab3

kkkk，令y=0，x=-，则()2，∴k=-24。 4343aaaa14、0，或2。显然a≠1，a≠3，令x=0，y=；令y=0，x=。令，解之得a=0，a31aa31a或2。

13、-24。令x=0，y=

15、4x+3y-1=0。设直线y=2x+1倾斜角为α，则tanα=2，ktan22tan1tan2=4，∴直线L33(x-1)，即4x+3y-1=0。 4 （三）解答题 方程为y+1=-

a1a2216、解：设A（a，0），B（0，b），则，

bb632∴ 直线方程

yx1，即3x-y+6=0。 260

0

17、解；设直线倾斜角为α，则直线m倾斜角为α+45，km=tan(α+45)=∴ 直线方程：y-1=k(x+2) 直线m方程：y1令x=0

1k 1k1k(x2) 1k3k<0 1k3k3k∴ |PQ|=yQ-yR=2k+1- 2k11kk11k3∴ SPQR|PQ||xP|2k1

2k12 2[(k1)2]≥4(21)

k12当且仅当k-1=，k=21，k=1-2（舍）时

k1则 yQ=2k+1>0，yk Smin4(21)

2a3b11018、解：由已知得1

2a3b1022∴ （a1，b1），(a2，b2)均是方程2x+3y+1=0的解

∴ 点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)均在方程2x+3y+1=0表示的直线上 ∵ 过两点的直线唯一

∴ 直线Q1、Q2方程为2x+3y+1=0

19、解：（1）当AB斜率存在时，设A(t，3t)（t>0） ∵ kAB=kBC ∴

3t22 t33xC7t 3t2∵ 点C在x轴正半轴上 ∴ xC∴ xC>0

2 3令 u=3t-2 ∴ t>

u22)2174283(u4)≥则 S= 2u6u3(当且仅当u=±2（舍负），t=

4284时，Smin，此时A（，4） 333 （2）当AB斜率不存在时，A（3，9），S=

∵

27 22728 23428，4）时，(SAOC)min 3320、解：∵ 3A+4B+5C=0 ∴ 当A为（

1∴ C(3A4B)

5代入直线方程得Ax+By-

1(3A+4B)=0 5A34(x) B554A3∴ y(x)

5B5∴ y34

由方程特征可知，这是表示过定点（,）的旋转直线系

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34∴ P（,）

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