等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题

问题1：已知线段AB是等腰三角形的一条边，则对应两圆一线中的“两圆”与“一线”的操作方法是什么？

问题2：两圆一线的分类标准是什么？分别对应什么操作？

等腰三角形存在性问题（两圆一线）（人教版）

一、单选题(共6道，每道14分)

1.已知：如图，线段AB的端点A在直线上，AB与的夹角为60°，请在直线上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案：B 解题思路：

要使△ABC是等腰三角形，先分析点，定点是A，B，动点是C， 那么AB是定线段，AB可以当这个等腰三角形的腰， 也可以当这个等腰三角形的底．

①当AB为腰时，此时作两圆，如图，

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等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

②当AB为底时，此时作一线，如图，

综上，使△ABC是等腰三角形的上的点C有2个．

故选B

试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性

2.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或

直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个．

A.3 B.4 C.7 D.8

答案：D 解题思路：

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等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

如图所示，当AB为等腰三角形的腰时，分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆； 当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线； 综上，满足条件的点C共有8个． 故选D

试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形

3.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知A（2，-1），P是x轴上的一个动点，如果以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )

A.2 B.3 C.4 D.5

答案：C 解题思路：

已知O，A两个定点，再寻找点P使得△OAP为等腰三角形，需要利用“两圆一线”解题，即：分别以O，A为圆心，以OA长为半径作圆；作线段OA的垂直平分线，与x轴的交点即为所求． 如图所示，

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等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

图中

，

，

，

即为所求．

故选C

试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性

4.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．

A.8 B.9 C.10 D.11

答案：B 解题思路： 如图，

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等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

若点A为等腰三角形顶点，则以点A为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点

；

若点B为等腰三角形顶点，则以点B为圆心、以AB长为半径作圆，与正方形网格的格点交于点

（其中

与A，B共线，故舍去）．

故选B

试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形

5.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是以BQ为腰的等腰三角形，则满足题意的点P有( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

答案：B 解题思路：

如图，当BQ为等腰三角形的腰时，分别以点B，Q为圆心，以BQ长为半径作圆，与线段AD有三个交点．

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等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

此时等腰△BPQ的腰长都为5，符合题意． 综上，满足题意的点P有3个． 故选B

试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形

6.如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )

A.1个 B.3个

C.5个 D.无数多个

答案：C 解题思路：

点P在对称轴上，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形； ∵对称轴垂直平分BC，点P在对称轴上， ∴△PBC是等腰三角形；

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等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

如图，当AB为等腰三角形的腰时，

分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，与交于点P；

如图，当AB为等腰三角形的底时，作AB的垂直平分线，与交于点P；

综上，满足条件的点P共有5个． 故选C

试题难度：三颗星知识点：两圆一线构造等腰三角形

二、填空题(共1道，每道16分)

7.如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上

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等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．

答案：5 解题思路：

如图所示，当BP为等腰三角形的腰时，分别以B，P为圆心，BP长为半径作圆，与正方形交于点点

；

；当BP为等腰三角形的底时，作BP的垂直平分线，交正方形于

特别说明：

：点以

是以点B为圆心，BP为半径作圆得到的，此时是等边三角形，且

；

，因为∠PBC=60°，所

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等腰三角形存在性问题(两圆一线)(人教版)(含答案)

：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F； 在Rt△BEP中，∠EBP=90°-60°=30°，BP=4 得PE=2 ∵EF=AD=6 ∴PF=4 ∴点F即为点

；

综上，满足条件的点P共有5个．

试题难度：知识点：两圆一线构造等腰三角形

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