平面向量的坐标运算

一、知识精讲

1．平面向量的正交分解

把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示：

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．

(2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于加、减法 这两个向量相应坐标的和(差) 向量的 实数与向量若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的的积 坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 已知向量向量的 坐标 AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则

AB＝(x2－x1，y2－y1)，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.

[小问题·大思维]

1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？

提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．

2．已知向量OM＝(－1，－2)，M点的坐标与OM的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM＝(－1，－2)，而M(－1，－2)． 3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？

提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．

4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？

提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．

x1y1

5．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，是否有＝成立？

x2y2

x1y1

提示：不一定．由于＝的意义与x1y2－x2y1＝0的意义不同，前者不

x2y2

允许x2和y2为零，而后者允许，当x1＝x2＝0，或y1＝y2＝0或x2＝y2＝0时，a∥bx1y1

但＝不成立． x2y2

二、典例精析

例1、如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与

AD交于点F，求DF的坐标．

变式练习：

若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于 ( ) 131331

A．－a＋b B.a－b C.a－b

222222答案：B

例2、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP＝OA＋t AB. (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．

31

D．－a＋b

22

保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？

变式练习：

已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示． (1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标． (2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标．

例3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

保持例题条件不变，是否存在实数k，使a＋kb与3a－b平行？

变式练习

已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？

例4、

(1)已知OA＝(3,4)，OB＝(7,12)，OC＝(9,16)，

(1)求证：A，B，C三点共线；

(2)设向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？

变式练习

设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？

例5、如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．

变式练习：

11

在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC＝OA，OD＝OB，AD

42与BC交于点M，求点M的坐标．

三、课后检测

一、选择题

1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论 ①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)； ②a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2； ③若a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O； ④若a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)． 其中，正确结论的个数是( ) A．0 C．2

B．1 D．3

解析：由平面向量基本定理可知，①正确；②不正确．例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；a的坐标与终点坐标是以a的始点是原点为前提的，故④错误．

答案：B

2．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则( ) A．m＝2，n＝4 C．m＝4，n＝2

B．m＝3，n＝－2 D．m＝－4，n＝－2

解析：∵ma＋nb＝m(3，－1)＋n(－1,2) ＝(3m－n，－m＋2n)＝(10,0)，

3m－n＝10，∴∴m＝4，n＝2. －m＋2n＝0，

答案：C

3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )

A．(2,6)

B．(－2,6) D．(－2，－6)

C．(2，－6)

解析：∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，

∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)． 答案：D

4．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)满足(ka＋b)∥c，则k＝( ) A．3 1C. 3

B．－3 1D．－

3

解析：ka＋b＝(k－1，k＋1)，

由(ka＋b)∥c，得2(k－1)－4(k＋1)＝0，解得k＝－3. 答案：B

5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( )

7

2， A.2C．(3,2)

1

2，－ B.2D．(1,3)

2x－0＝3－－1，

解析：令D(x，y)，由已知得

2y－2＝1－－2.x＝2，7

解得7∴顶点D的坐标为(2，)．

2y＝.2

答案：A

6．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( ) A．13 C．9

B．－13 D．－9

解析：AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)． ∵AB∥AC，∴－8(y＋6)－24＝0. ∴y＝－9.

答案：D

1

7．已知a＝(－2,1－cos θ)，b＝(1＋cos θ，－)，且a∥b，则锐角θ等于( )

4A．45° C．60°

B．30° D．30°或60°

1解析：由a∥b得－2×(－)＝1－cos2θ＝sin2θ，

4∵θ为锐角，∴sin θ＝答案：A 二、填空题

8．已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)，且a∥b，则tan θ＝________. 解析：∵a∥b，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ. 1

即4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝.

41答案：

4

9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________. 解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c， 得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1. 答案：－1

10．已知点A(－1，－1)、B(1,3)、C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有OC＝λOA＋(1－λ) OB，λ∈R，则x＝______.

解析：取点O(0,0)，由OC＝ λOA＋(1－λ) OB，得 (x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，

1λ＝－2，x＝－λ＋1－λ，∴解得 5＝－λ＋31－λ.x＝2.

2

，∴θ＝45°. 2

答案：2

11．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B

的坐标为________________．

解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．

设点B坐标为(x，y)，则AB―→＝(x－1，y－2)＝b.

－2λ＝x－1，x＝1－2λ，由⇒① 3λ＝y－2，y＝3λ＋2.

又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 12

∴λ＝或λ＝－，代入①式得

2377

B点坐标为(0，)或(，0)．

2377

答案：(0，)或(，0)

23三、解答题

1

12．已知A、B、C三点的坐标为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE＝AC，BF＝

31

BC，求证：EF∥AB. 3

证明：设E、F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， 依题意有AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)． 1

∵AE＝AC，

31

∴(x1＋1，y1)＝(2,2)．

312

∴点E的坐标为(－，)．

33

782

同理点F的坐标为(，0)，EF＝(，－)．

33382又×(－1)－4×(－)＝0，∴EF∥AB. 33

13．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题： (1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.

解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1) ＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2) ＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)． (2)∵a＝mb＋nc，

∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)． 58

∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝，n＝.

99(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，

又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0. 16

∴k＝－.

13