高中自主招生数学模拟试题(附答案1)

2018年高中自主招生考试

数学模拟试题

（满分：120 分

时间：120 分钟）

一、选择题。（每小题 4 分，共 24 分）

1. 若正方形的外接圆半径为 2，则其内切圆半径为（

）

2C. D.1 A. 2 B.2 2

2

2. 如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD＝BA，则tan∠DAC 的值为（ ）

A.2＋ 3

B.2 3

C.3＋ 3

P

D.3 3

A M

O

N

B

第 2 题图

第 3 题图

第 5 题图

3. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，EF⊥AE，交 BC 于点 F，则∠1 与∠2 的大小关

系 为 （ ）

A.∠1＞∠2 n 的大小关系是（ A.m＞n

B.∠1＜∠2 ）

B.m＜n

C.∠1=∠2 D.无法确定

4. 若点 M(－7，m)、N(－8，n)都是函数 y＝－(k2＋2k＋4)x＋1（k 为常数）的图象上，则 m 和

C.m＝n D.不能确定

5. 如图，点 P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点，且∠MPN 与∠AOB 互补．若∠MPN 在绕

点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA，OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：（1）PM＝PN 恒成立，（2）OM＋ON 的值不变，（3）四边形 PMON 的面积不变，（4）MN 的长不变，其中正确的 个 数 为 （ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

6. 在平面直角坐标系内，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C（点 C 在原点的右侧），并分别与直线 y＝

第 1 页 共 4 页

1

x 和双曲线 y＝ 相交于点 A、B，且 AC＋BC＝4，则△OAB 的面积为（

x

）

A.2 3 ＋3 或 2 3 －3

B. 2 ＋1 或 2 －1 D. 2 －1

C.2 3 －3

二、填空题。（每小题 4 分，共 24 分）

7. 一个人把四根绳子紧握在手中，仅在两端露出它们的头和尾，然后随机地把一端的四个头中 的某两个相接，另两个相接，把另一端的四个尾中的某两个相接，另两个相接，则放开手后四根 绳子恰好连成一个圈的概率是

．

．

8. 有 4 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 2，3，4，6，小红随机抽取 1 张后，放回并混在

一起，再随机抽取 1 张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为

在直角三角形 ABC 中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过 B 作 BA1⊥AC，过 A1 作 A1B1⊥BC，9. 如图，得阴影直角三角形 A1B1B；再过 B1 作 B1A2⊥AC，过 A2 作 A2B2⊥BC，得阴影直角三角形 A2B2B1；…，如此无限下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为

．

A H D

E B F Q

G

C

第 9 题图 第 10 题图

第 11 题图

10. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面

积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，则（a+b）2 的值是 ．

11. 如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在 AB 边上的 E 处，EQ 与 BC

相交于点 F．若 AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF 周长的大小为 ．

22 1 1 ……请利用你所得结论，化简 12. 观察下列各式：  1  1 ， 2  1  1   1 3 1 3 2  4 2 4 ， 3  5 3 5 ，

22

（n≥3 且为整数）代 数 式 ＋ 2 ＋ 2 ＋…＋ ，其结果为

2  4 3  5 n(n  2) 1 3

．

三、解答题。（每小题 12 分，共 72 分）

13. 某宾馆有客房 50 间，当每间客房每天的定价为 220 元时，客房会全部住满；当每间客房每天的

定价增加 10 元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加 x 元时，客房入住数为 y 间．

（1） 求 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；

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如果每间客房入住后每天的各种支出为 40 元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的（2） 定价为多少时利润最大？

14. 如图①，半圆 O 的直径 AB=6，AM 和 BN 是它的两条切线，CP 与半圆 O 相切于点 P，并

于 AM，BN 分别相交于 C，D 两点． （1） 请直接写出∠COD 的度数； （2） 求 AC•BD 的值；

（3） 如图②，连接 OP 并延长交 AM 于点 Q，连接

DQ，试判断△PQD 能否与△ACO 相似？若能相似， 请求 AC：BD 的值；若不能相似，请说明理由．

15. 如图，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（4

，

，点 D 在 CB 上，且 CD：DB=2：1，OB 交 AD 于点 E.平行于 x 轴的直线 l 从原点 O 出发，以4）每秒 1 个单位长度的速度沿 y 轴向上平移，到 C 点时停止；l 与线段 OB，AD 分别相交与 M， N 两点，以 MN 为边作等边△MNP（点 P 在线段 MN 的下方）.设直线 l 的运动时间为 t（秒），

． △MNP 与△OAB 重叠部分的面积为 S（平方单位）（1） 直接写出点 E 的坐标；

（2） 求 S 与 t 的函数关系式； （3） 是否存在某一时刻 t，使得 S=S△ABD 成立？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由．

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16. 如图，在□ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F；再分别以点 B、F 为

1

圆心，大于 BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF，

2

则所得四边形 ABEF 是菱形． B E C

（1） 根据以上尺规作图的过程，求证四边形 ABEF 是菱形； （2） 若菱形 ABEF 的周长为 16，AE＝4 3 ，求∠C 的大小．

P

A F

D

17. 如图，ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点 A 和对角线的交点 P，分别交 AB、AD 于点 F、E. （1） 求证：DE=AF. （2） 若⊙O 的半径为

AE

，AB= 2  1 ，求 的值． 2 ED

3

18. 如图，直线 y＝kx＋b（k、b 为常数）分别与 x 轴、y 轴交于点 A(－4，0)、B(0，3)，抛物线

y＝－x2＋2x＋1 与 y 轴交于点 C．

（1） 求直线 y＝kx＋b 的解析式；

（2） 若点 P(x，y)是抛物线 y＝－x2＋2x＋1 上的任意一点，设点 P 到直线 AB 的距离为 d，求 d

关于 x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点 P 的坐标； （3） 若点 E 在抛物线 y＝－x2＋2x＋1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，求 CE＋EF 的最小值．

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高中自主招生考试数学训练试题

参考答案

一、选择题（每小题4分，共24分） 1．A． 2．A．

解析：设AC＝a，则AC＝a÷sin30°＝2a，BC＝a÷tan30°＝3a，∴BD＝AB＝2a．∴tan∠DAC＝(23)a＝2＋3． aAMEP3．C． 4．B．

解析：由于k2＋2k＋4可化为(k＋1)2＋3＞0，因此－(k2＋2k＋4)此这个函数y随x的增加而减小，由于－7＞－8，因此m＜n． 5．B．

ONFB＜0，因

解析：①过点P分别作OA、OB的垂线段，由于∠PEO＝∠PFO＝90°，因此∠AOB与∠EPF互补，由已知“∠MPN与∠AOB互补”，可得∠MPN＝∠EPF，可得∠MPE＝∠NPF．②③根据“角平分线上一点到角两边距离相等”，可证PE＝PF．即可证得Rt△PME≌Rt△PNF；因此对于结论（1），“PM＝PN”由全等即可证得是成立的；结论（2），也可以有全等得到ME＝NF，即可证得OM＋

ON＝OE＋OF，由于OE＋OF保持不变，因此OM＋ON的值也保持不变；结论（3），由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得这两个三角形的面积相等，因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积

始终相等，因此结论（3）是正确的；结论（4），对于△PMN与△PEF，这两个三角形都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，所以底边MN与EF不可能相等．所以MN的长是变化的． 6．A．

解析：设点C的坐标为(m，0)，则A(m，m)，B(m，

11)，所以AB＝m，BC＝．根据“AC＋mm第 5 页 共 4 页

1＝4，解得m＝2±3．所以A(2＋3，2＋3)，B(2＋3，2－3)m1或A(2－3，2－3)，B(2－3，2＋3)，∴AB＝23．∴△OAB的面积＝×23×(2±3)＝

2BC＝4”，可列方程m＋

23±3．

二、填空题（每小题4分，共24分） 27． ．

3

8．

．

9．

96． 4110．25．

解析：由题意知（a－b）2=1，∴a2－2ab+ b2=1，又∵a2+ b2=13，∴2ab=12，∴（a+b）

2=

a+2ab+ b2=13+12=25．

11．8．

解析：设DH＝x，则AH＝8－x，由折叠的对称性，可知EH＝DH＝x，在Rt△AEH中，应用勾股定理，得AE2＋AH2＝EH2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5．由∠GEF＝90°，可证明△AHE∽△

AEAHEH435810BEF，因此，即，可以求得BF＝，EF＝．所以△EBF周长为BFBEEFBF2EF33810＋＋2＝8． 333n25n12．．

2(n1)(x2)211＝．

n(n2)nn21111111111因此，原式＝... 132435n1n1nn21111111111＝... ...123n1n345n1n2211113n5n＝＝． 2(n1)(x2)12n1n2解析：由这些式子可得规律：

三、解答题（每小题12分，共72分）

13．解：（1）由题意可得，y=50﹣

=

；.............................................................3分

（2）当每间客房每天的定价增加x元时，设宾馆的利润为w元， 则w=（﹣

x+50）（220+x﹣40）=﹣

，................................................4分

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当x=﹣=160时，w有最大值， ................................................3分

故这一天宾馆每间客房的定价为：220+160=380（元），

即当宾馆每间客房的定价为380元时，宾馆利润最大． ................................................2分 14．解：（1）∠COD=90°．理由如下：

如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线， ∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，

∵CA、CP是切线，∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB， ∵∠ACD+∠BDC=180°，∴2∠OCD+2∠ODC=180°， ∴∠OCD+∠ODC=90°，∴∠COD=90°．.......................4分

（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，∴∠A=∠B=90°，∴∠ACO+∠AOC=90°，

∵∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠ACO=∠BOD， ∴RT△AOC∽RT△BDO，∴

=

，即AC•BD=AO•BO，

∵AB=6，∴AO=BO=3，∴AC•BD=9．........................4分 （3）△PQD能与△ACQ相似．

∵CA、CP是⊙O切线，∴AC=CP，∠1=∠2，

∵DB、DP是⊙O切线，∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，∴RT△ODB≌RT△ODP，∴∠3=∠4， ①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，

∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，∴∠5=∠4，∴DQ=DO， ∴∠PDO=∠PDQ，∴△DCQ≌△DCO，∴∠DCQ=∠2， ∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，∴∠1=60°=∠3， 在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3∴AC：BD=1：3． ................2分

②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，

∵∠2=∠1，∴∠6=∠2，∴CO∥QD，∴∠1=∠CQD，∴∠CQD，∴CQ=CD， ∵S△CDQ=

•CD•PQ=

=

•CQ•AB，∴PQ=AB=6， ，即

=

，∴AC：BD=1：2． ........................2分

，

∠6=

∵CO∥QD，∴

15．解（1）如图1，过E作GH⊥OA，交BC于G，交OA于H，则GH⊥BC，

∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，BC=OA， ∵B（4，4），∴OA=4，AB=GH=4， 由勾股定理得：OB=

=8，∴∠EOA=30°，

，

∵BC∥OA，∴△BDE∽△OAE，∴∵CD：DB=2：1，∴∴OE=2EH=6，∴OH=3）；

=

，∴EH=3， =3

，∴E（3

，

........................4分

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（2）如图1，在矩形OABC中， ∵点B的坐标为（4，4），且CD：DB=2：1， ∴A（4

，0），D（

，4），

x，直线AD的解析式

可得直线OB的解析式为：y1=为：y2=﹣

x+12，当y1=y2=t时，可得点M、N的横坐

t，xN=4

﹣

﹣

t，

标分别为：xM=

则MN=|xM﹣xN|=|4

t|，

当点P运动到x轴时，如图2，

∵△MNP是等边三角形，∴MN•sin60°=t，解得t=2； 当t=3时，M、N、P三点重合，S=0；

讨论：①当0≤t＜2时，如图3，设PM、PN分别交x轴于点F、G，

则△PFG的高为MN•sin60°﹣t=6﹣3t， ∴△PFG的边长为∵MN=xN﹣xM=4∴S=S梯形FGNM==﹣

t2+4

﹣t（4t，

=4t， ﹣2

t+4

﹣

t）

﹣2

t，

②当2≤t≤3时，如图4，此时等边△MNP整体落在△OAB内， 则△PMN的高为MN•sin60°=6﹣2t，∵MN=xN﹣xM=4∴S=S△MNP=

（6﹣2t）（4

﹣

t）=

﹣8

﹣t+12

t， ，

③当3＜t≤4时，如图5，

在Rt△OAB中，∠AOB=30°，∴∠NME=30°， ∴等边△NMP关于直线OB对称， ∵MN=|xN﹣xM|=∴S==﹣

S△MNP=

+4

×

t﹣4

，

+

t）

（6﹣2t）（﹣4

，

t﹣6

综上所述：①当0≤t＜2时，S=﹣③当3＜t≤4时，S=﹣（3）存在t的值，使S=

+4

t2+4t﹣6

t，②当2≤t≤3时，S=﹣8t+12，

，④当t=3时，S=0； ........................4分

，若S=

S△ABD成立，则：

S△ABD成立，∵S△ABD=

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①当0≤t＜2时，由﹣+4t=，解得：t1=2（舍去），t2=，

②当2≤t≤3时，由﹣8t+12=，解得：t1=2，t2=4（舍去）， ③当3＜t≤4时，由﹣+4

t﹣6

=

，△＜0，无实数解，

∴符合条件的t有：2或

． ........................4分

16．解：（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF．∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF．∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四边形

ABEF为平行四边形．

∴四边形ABEF为菱形． ........................6分

（2）连接BF，∵四边形ABEF为菱形，∴BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE．

∴OA＝12AE＝23．∵菱形ABEF的周长为16，∴AF＝4．

∴cos∠OAF＝OA3AF＝2．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝60°．.................6分

17．解：（1）连接EP，FP，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°，∠BPA=90°，∴∠FPE=90°，∴∠BPF=∠APE，又∵∠FBP=∠PAE=45°，∴△BPF≌△APE，∴BF=AE，而AB=AD，∴DE=AF；.................6分

（2）连EF，∵∠BAD=90°，∴EF为⊙O的直径，而⊙O的半径为

32，∴EF=3， ∴AF2+AE2=EF2=（3）2=3，而DE=AF，故DE2+AE2=3 ①； 又∵AD=AE+ED=AB，∴AE+ED= 21 ②，

由①②联立起来组成方程组，解得AE=1，ED=2或AE= 2，ED=1， 所以

AEED= 2或22．.................6分 18．解：（1）∵y＝kx＋b经过A(－4，0)、B(0，3), M H B N ∴4kb0y=kx+b b3，解得k＝34，b＝3．∴y＝34x＋3．....4

C · P ( x ， y ) 分 （2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线A O MN分别过点A、P作MN的垂线段，垂足分别为M、N．

y＝－x 2 +2 x+ 1 第 9 页 共 4 页

，

设H(m，34m＋3)，则M(－4，34m＋3)，N(x，34m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．

∵PH⊥AB，∴∠CHN＋∠AHM＝90°，∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°．

∴∠MAH＝∠CHN，∵∠AMH＝∠CNH＝90°，∴△AMH∽△HNP． ∵MA∥y轴，∴△MAH∽△OBA．∴△OBA∽△NHP．

(3m3)(x22x1)∴NHCNCHxm345．∴344d5． 整理得：d45x2x85，所以当x＝58，即P(58，11964)．....4分

（3）作点C关于直线x＝1的对称点C′，过点C′作C′F⊥F．过点F作JK∥x轴，，分别过点A、C′作AJ⊥JK于点J，JK于点K，则C′(2，1)．设F(m，34m＋3)

J F K ∵C′F⊥AB，∴∠AFJ＋∠C′FK＝90°，

B E ∵CK⊥JK，∴∠C′＋∠C′FK＝90°．∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝

90°，∴△AFJ∽△FC′K．∴AJJFA ·C C′ FKC'K，∴3O 4m3x＝m42m3，解得m＝8或－4（不符合题意）． 1 4m225∴F(8811425，25)，∵C′(2，1)，∴FC′＝5．∴CE＋EF的最小值＝C′E＝145．...

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AB于C′K⊥

∠K＝