信息论基础及答案

信息论基础及答案

《信息论基础》试卷答案

一、填空题（共25分，每空1分） 1、连续信源的绝对熵为 无穷大。（或pxlgpxdxlimlg）

2、离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，编码效率最大可以达到 1 。 3、无记忆信源是指 信源先后发生的符号彼此统计独立 。 4、离散无记忆信源在进行无失真变长编码时，码字长度是变化的。根据信源符号的统计特性，对概率大的符号用 短 码，对概率小的符号用 长 码，这样平均码长就可以降低，从而提高 有效性(传输速率或编码效率) 。

5、为了提高系统的有效性可以采用 信源编码 ，为了提高系统的可靠性可以采用 信道编码 。

6、八进制信源的最小熵为 0 ，最大熵为 3bit/符号 。

《信息论基础》试卷第2页

7、若连续信源输出信号的平均功率为1瓦特，则输出信号幅度的概率密度函数为 高斯分布(或xN0,1或1e2x22)时，信源具有最

大熵，其值为 0.6155hart(或1.625bit或

1lg2e2)。

8、即时码是指 任一码字都不是其它码字的前缀 。

9、无失真信源编码定理指出平均码长的理论极限值为 信源熵(或Hr(S)或Hlgrs)，此时编码效率为 1 ，编码后的信息传输率为 lgr bit/码元 。

10、一个事件发生的概率为0.125，则自信息量为 3bit/符号 。

11、信源的剩余度主要来自两个方面，一是 信源符号间的相关性 ，二是 信源符号概率分布的不均匀性 。

12、m阶马尔可夫信源的记忆长度为 m+1 ，信源可以有 qm 个不同

《信息论基础》试卷第3页

的状态。

13、同时扔出一对均匀的骰子，当得知“两骰子面朝上点数之和为2”所获得的信息量为 lg36=5.17 比特，当得知“面朝上点数之和为8”所获得的信息量为 lg36/5=2.85 比特。

14.在下面空格中选择填入的数学符号“=，≥，≤，>”或“<”

H(XY) = H(Y)+H(X∣Y) ≤ H(Y)+H(X)

《信息论基础》试卷第4页

二、(5分)已知信源的概率密度函数为

1axbpxba0其他Hcxpxlgab，计算信源的相对熵。 ------3分

1dxpxlgbabit/自由度-------2分

三、(10分)一个平均功率受限的连续信道，信道带宽为1MHz，信道噪声为高斯白噪声。 (1)已知信道上的信号与噪声的平均功率比值为20，计算该信道的信道容量。

(2)如果信道上的信号与噪声的平均功率比值降为10，要达到相同的信道容量，信道带宽应为多少？

(3)如果信道带宽降为0.5MHz，要达到相同的信道容量，信道上的信号与噪声的平均功率比值应为多少？

1) c10lg1S------3分

NR4.39106b/s---1分

2)

《信息论基础》试卷第5页

10c1.27106lg1SNRNRHz---3分

3) S

2cw1=440----3分

四、(16分)已知信源共7个符号消息，其概率空间为

Ss1Px0.2s20.17s30.2s40.17s50.15s60.10s70.01

试用霍夫曼编码法编成二进制变长码。并计算信源熵、平均码长、编码后的信息传输率、编码信息率和编码效率。要求写出详细的编码过程和计算过程。

2 01 S1 0.22 00 S3 0.23 111 S2 0.173 110 S4 0.173 101 S5 0.154 1001 S6 0.104 1000 S7 0.010.20.20.170.170.150.110.260.20.20.170.170.340.260.20.20.40.340.260.60.41.0

------6分

LiPi2.71i177位----2分

bit/符号--------2分

《信息论基础》试卷第6页

HsPilog2Pi2.61i1

R’log2r2.71bit/码字--------2分 ----------2分

Hs0.963log2rHs0.963Rbit/码元--------2分

五、(16分)设一个离散无记忆信源的概率空间为

Xa1Px0.5a20.5

它们通过干扰信道，信道输出端的接收符号集为Y =[b1,b2]，已知信源传输概率如下图所示。

0.98X1Y10.020.2Y2X20.8

试计算：

(1)信源X中事件x1和x2分别含有的自信息量；(2分)

(2)收到yj(j=1,2)后，获得的关于x1的信息量；(2分)

《信息论基础》试卷第7页

(3)信源X的信息熵；(2分)

(4)条件熵H(Y∣x1)，H(Y∣x2)；(2分) (5)共商H(XY)、信道疑义度H(X∣Y)和噪声熵

H(Y∣X)；(6分)

(6)收到消息Y后获得的关于信源X的平均信

息量。(2分)

P(x,y)X1X2Y1Y20.44 0.010.1 0.4

(1)I(x1)=-log0.5=1bit------1分 I(x2)=-log0.5=1bit------1分 (2)I(x1;y1)=lg0.831/0.5(=lg0.98/0.59)=0.733-------1分 I(x1;y2)=lg0.024/0.5(=lg0.02/0.41)=-4.38-------1分

(3)H(x)=H(0.5,0.5)=1bit/符号------2分 (4)H(y︱x1)=H(0.98,0.02)=0.142bit/符号-----1分

H(y︱x2)=H(0.8,0.2)=0.722bit/符号-----1

《信息论基础》试卷第8页

或或

分

(5)H(y)=H(0.59,0.41)=0.977

H(xy)=H(0.49,0.01,0.1,0.4)=1.432bit/二符号------2分

H(x︱y)=H(xy)-H(y)=0.455bit/符号------2分

H(y︱x)=H(xy)-H(x)=1.432-1=0.432bit/符号-----2分

(6)I(x;y)=H(x)+H(y)-H(xy)=0.545bit/符号------2分

六、(12分)设某信道的传递矩阵为

121P613131216161312

(1)若输入符号P(x1)=P(x2)=1/4，P(x3)=1/2，求H(X∣Y)和I(X;Y)。

(2)计算该信道的信道容量，并说明达到信道容量的最佳输入概率分布。

《信息论基础》试卷第9页

(1)-----写出公式2分

H(X︱Y)=p(xy)logpxy，I(X;Y)=H(X)-H(X

ijijij︱Y)

py1pxpy1xx=1/3，同理：p(y2)=7/24，

p(y3)=3/8

--------计算过程4分

px1y1px1py1x1py111334218

同理：p(x1︱y2)=2/7，p(x1︱y3)=1/9

p(x2︱y1)=1/8，p(x2︱y2)=3/7，p(x2︱y3)=2/3 p(x3︱y1)=1/2，p(x3︱y2)=2/7，p(x3︱y3)=2/3

H(X)=-2

(1/4)log(1/4)-(1/2)log(1/2)=1.5 bit/symbol

------最终答案2分 H(X

∣

Y)= ×

《信息论基础》试卷第10页

p(x)pyxlogpxyXY1.383bit/symbol

I(X;Y)=H(X)-H(X∣Y)≈0.117 bit/symbol (2)对称离散信道

C=logS-H(p的行矢量)-----判断 公式3分 =log3-H(1/2,1/3,1/6)0.126bit/symbol---答案1分

输入等概时，达到信道容量。-----说明2分

七、(16分)有一个二元二阶马尔可夫信源，其信源符号集为{0,1}，初始概率大小为P(0)=1/3，P(1)=2/3。条件概率定为 P(0∣00)= P(1∣11)=0.8 P(1∣00)= P(0∣11)=0.2

P(0∣01)= P(0∣10)= P(1∣01)= P(1∣10)=0.5

(1)画出该信源的状态转移图。 (2)计算达到稳定状态的极限概率。 (3)该马尔可夫信源的极限熵H∞。

(4)计算达到稳定后符号0和1的概率分布。

《信息论基础》试卷第11页

≈

解：(1)

0:0.81:0.21:0.5011:0.50:0.51110000:0.50:0.21:0.8----------4分

(2)

00.80.20000.50.5pEiEi0.50.500000.20.8

P(E1)=0.8P(E1)+0.5P(E3) P(E2)=0.2P(E1)+0.5P(E3) P(E3)=0.5P(E2)+0.2P(E4) P(E4)=0.5P(E2)+0.8P(E4) P(E1)+P(E2)+P(E3)+P(E4)=1 解(3)H得

44：P(E1)=P(E4)=5/14 =0.801bit/符

P(E2)=P(E3)=2/14--------4分

H2pEipEjEilogpEjEii1j1号-----公式2分，答案2分

《信息论基础》试卷第12页

(4)

pQkpEipQkEii1q-----2分

p(1)=p(2)=1/2--------2分

13页

《信息论基础》试卷第