山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试 数学(A) 含答案

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2020－2021学年度第一学期期中考试

高三数学试题(A)

本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟。

第I卷 选择题(60分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|2x<1}，则A∩B等于 A.[－2，1) B.[－2，0) C.(1，2] D.[－2，＋∞) 2.已知i为虚数单位，若A.

m2i是纯虚数，则实数m的值为 1i11 B.－ C.2 D.－2 22acosA”的 bcosB3.在△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，则“a＝b”是“

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.如果向量a，b的夹角为θ，我们就称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b还是一个向量，它的长度为|a×b|＝|a|·|b|sinθ，如果|a|＝10，|b|＝2，a·b＝－12，则|a×b|＝ A.－16 B.8 C.16 D.20

5.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋

S)，N它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平

S叫做信噪比。当信噪比比较大时，公NS式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提

N均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中升至5000，则C大约增加了( )(附：lg2≈0.3010) A.20% B.23% C.28% D.50%

6.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则此函数可能是

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A.f(x)＝

sin6xsin6xcos6xcos6x B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝

2x2x2x2x2x2x2x2x7.已知数列{an}为等差数列，首项为2，公差为3，数列{bn}为等比数列，首项为2，公比为2，设cn＝abn，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn<2020时，n的最大值是 A.8 B.9 C.10 D.11 8.己知函数f(x)＝范围是 A.(0，

a2x2al，x2(a>0且a≠l)，若f(x)有最小值，则实数a的取值

x12a，x233333] B.(1，] C.(0，1)∪(1，] D.(0，]∪(1，] 42242二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9.若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是 A.ab有最大值

1 B.ab有最小值2 4C.

211 有最小值4 D.a2＋b2有最小值2ab10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是

A.直线AM与BN是平行直线 B.直线BN与MB1是异面直线

C.直线MN与AC所成的角为60° D.平面BMN截正方体所得的截面面积为

9 211.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超

2ex过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，已知函数f(x)＝

1ex＋

1，g(x)＝[f(x)]，则下列叙述正确的是 2Earlybird

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A.g(x)是偶函数 B.f(x)在R上是增函数 C.f(x)的值域是(－

1，＋∞) D.g(x)的值域是{－1，0，l} 22，且f(x)在(x0，x0＋1)上有最大值，212.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)满足f(x0)＝f(x0＋1)＝无最小值，则下列结论正确的是 A.f(x0＋

1)＝1 B.若x0＝0，则f(x)＝sin(πx＋) 24第II卷 非选择题(90分)

C.f(x)的最小正周期为4 D.f(x)在(0，2020)上的零点个数最少为1010个

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知角α的终边经过点P(－3，4)，则sinα＋2cosα的值等于 。 14.己知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－1，则该切线的方程为 。

15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＋f(3－x)＝0，且当x∈(－3，0)时，f(x)＝log2(x＋3)－a，若f(7)＝2f(11)，则实数a＝ 。

16.如图，正四面体A－BCD的棱长为2，点E、F分别是棱BD、BC的中点，则该正四面体的内切球半径为 ；平面AEF截该内切球所得截面的面积为 。(第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分)

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，(b＋c)(sinB－sinC)＝(a－c)sinA。 (1)求B；

(2)若b＝4，△ABC的面积为43，求a＋c。 18.(本小题满分12分)

新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献。生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本p(x)万元，当产量不足60万

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箱时，p(x)＝

126400x＋50x；当产量不小于60万箱时，p(x)＝101x＋－1860，若每箱口罩2x售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完。 (1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 19.(本小题满分12分)

等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bm为数列{an}在区间(0，m](m∈N＋)中的项的个数，求数列{bm}的前100项的和。 20.(本小题满分12分)

己知函数，f(x)＝Asin(ωx＋

)(A>0，ω>0)只能同时满足下列三个条件中的两个：①图象．．．．62，－2)；②函数f(x)的图象可由y＝2sin(x－)的图象平移得到；③34若对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，且|x1－x2|的最小值为。

2上一个最低点为M(

(1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式； (2)求方程f(x)－1＝0在区间[－π，π]上所有解的和。 21.(本小题满分12分)

如图，点C是以AB为直径的圆上的动点(异于A，B)，己知AB＝2，AE＝7，四边形BEDC为矩形，平面ABC⊥平面BCDE。设平面EAD与平面ABC的交线为l。

(1)证明：l⊥平而ACD；

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(2)当三棱锥A－BCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。 22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)。 (1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)证明不等式ex2－ax≥f(x)恒成立。

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