泊松过程2 | 泊松过程扩展
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发布时间：2024-10-24 13:05
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时间：2024-10-25 05:19
非时齐次泊松过程定义为满足特定条件的计数过程，其强度函数为公式。
若公式表示非时齐次泊松过程，定义变量公式，则对公式，有公式。此定理的关键在于强度函数公式与方差之间的关系。
复合泊松过程定义：设公式为独立同分布的随机变量序列，公式为泊松过程且与公式独立，记公式为复合泊松过程。复合泊松过程的矩可通过求其矩母函数公式得到，其中公式为公式矩母函数。在公式处求导得到公式与公式。若公式取正整数随机变量，则称其为平稳无后效流。
复合泊松恒等式定理说明复合泊松随机变量在特定条件下的分布函数与求和关系。推论表明对任何正整数公式，复合泊松过程的期望与参数存在特定关系。
条件泊松过程定义为在给定正随机变量公式条件下，计数过程公式成为泊松过程。条件泊松过程的定义及性质需通过全概率公式来理解，其期望可通过定理4.9来计算。
更新过程定义涉及独立同分布非负随机变量序列与计数过程的组合。更新函数与更新过程的分布函数及密度函数通过卷积形式描述。定理4.10提供关于更新过程期望的重要结果，栗子展示了具体实例。
更新过程的剩余寿命与年龄定义涉及事件发生时间与序列的统计特性。定理4.11与4.12分别描述了剩余寿命与年龄的期望性质。
瓦尔德等式定义了停时与马尔可夫时的数学概念，其定理表明在特定条件下，随机序列的期望值具有特定关系。
瓦尔德等式的应用涉及到线性方法与特征函数方法构造的鞅，它们是概率论中重要的数学工具。
