...b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,若经过点F1且与x轴、y轴不平行的直线...
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发布时间：2024-10-24 02:35
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时间：2024-11-02 09:09
对于①，将直线AB绕F1点旋转，根据椭圆的几何性质，得
当AB与长轴垂直时，|AB|取到最小值，设此时A（-c，n），
则(?c)2a2+n2b2=1，解之得n=b2a（舍负）
因此，|AB|=2n=2b2a，而当AB与椭圆的长轴重合时，|AB|最大值为2a，
由此可得|AB|的取值范围是[2b2a，2a]，故①是错误的；
对于②，设AF1的中点为N，则以AF1为直径的圆以N为圆心
根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a，所以|AF2|=2a-|AF1|，
可得|ON|=12|AF2|=a-|NF1|，
而以长轴为直径的圆的圆心为O，说明两圆的圆心距恰好等于半径之差，
因此以AF1为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆相切，故②正确；
对于③，因为AM平分∠F1AF2，所以根据三角形的平分线定理，得
|AF1||MF1|=|AF2||MF2|=|AF1|+|AF2||MF1|+|MF2|=2a2c=1e
∴椭圆的离心率e=|MF1||AF1|，故③正确；
对于④，将直线AB绕F1点旋转，根据椭圆的几何性质，得
当AB与长轴垂直时，△ABF2的面积达到最大值
因此，△ABF2的面积最大值为Smax=12×2b2a×2c=2cb2a≠a
故△ABF2的面积最大值不是a，得到④是错误的．
综上所述，只有①④是错误的
故答案为：①④
